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更新:2020-01-11 15:26:09浏览:3355

简介:也就是说,四边形 pqdc 事实上是一个矩形。只需注意到 mn 是 △bce 的中位线,问题即得证。下面我们说明,五个圆的半径成等比数列。把五个圆从小到大依次记作 c1 、 c2、 c3 、 c4 、 c5 ,把两条直线的交点记为 p 。但这两条路径显然有一个交点,这个交点所在的四边形显然就是矩形。这个操作可以在该正 400 边形的不同方向上进行 100 次,因此我们能找出 100 个朝向不同的矩

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1. 给定 △abc ,对于平面上的任意一点 x ,它属于点集 s 当且仅当线段 bc 上存在一点 d 使得 △adx 是等边三角形。点集 s 是什么样子的?

答案:

两条线段,它由线段 bc 绕 a 点顺时针或逆时针旋转 60 度而得。

这是因为,给定 a 点和 x 点,则 d 点的位置可以由 x 点绕 a 旋转 60 度得到的。

既然 d 点在 bc 上,那么显然 x 点就应该在 bc 绕 a 旋转 60 度得到的线段上。

2. 能否把一个正方形分割成 7 个等腰直角三角形,其中任意两个三角形都不全等?

答案:能。如图。

3. 能否把一个等边三角形分成五个等腰三角形,使得

(1) 五个三角形都不是等边三角形?

(2) 恰有一个三角形是等边三角形?

(3) 恰有两个三角形是等边三角形?

答案:都可以。如图。

4. △abc 中, ab=ac , ∠a=20° 。 p 在 ab 上,满足 ap=bc 。求 ∠acp 。

答案:

把 △abc 翻折两次,得到 △acd 、 △ade 。

在 ae 边上截取 aq 使得 aq=ap 。

显然 △apq 为等边三角形,因此 ap = pq = cd 。

另外,由 sas 可得 △apc 与 △aqd 全等,因此 pc=qd ,四边形 pqdc 是平行四边形。

由全等还可得 ∠apc=∠aqd ,由此可知 ∠1=∠2 。

也就是说,四边形 pqdc 事实上是一个矩形。因此, ∠acp = ∠adq = 90° – ∠adc = 10°。

5. △abc 中, m 为 ab 边的中点。以 ac 为边向外作正六边形, p 为其中心;以 bc 为边向外作正三角形, q 为其中心。证明: ∠pmq 为直角。

答案:

把整个图形绕 m 点旋转 180 度,则四边形 pqp’q’ 是平行四边形。

下面我们证明两个阴影三角形全等。

显然 cp=bp’ ,且 cq=bq 。

另外,记 △abc 的三个角分别为 α 、 β 、 γ ,则

∠pcq

= 360° – 60° – 30° – γ

= 270° – (180° – α – β)

= 90° + α + β

= 60° + α + β + 30°

= ∠p’bq ,于是 △pcq≌△p’bq 。

因此, pq=qp’ ,四边形 pqp’q’ 是菱形,它的两条对角线互相垂直。

6. △abc 中, ad 是角平分线, m 是 bc 的中点。过 m 作 ad 的平行线,与 ab 交于点 n 。求证 mn 平分 △abc 的周长。

答案:

过 c 作 mn 的平行线,与 ba 的延长线交于 e 。

易证 ac=ae ,所以 △abc 的周长就等于 bc+be 。

只需注意到 mn 是 △bce 的中位线,问题即得证。

7. 五个圆依次相切,它们又都相切于两条不平行的直线。如果最左边那个圆的半径为 4 ,最右边那个圆的半径为 9 ,求中间那个圆的半径。

答案: 6 。

下面我们说明,五个圆的半径成等比数列。把五个圆从小到大依次记作 c1 、 c2、 c3 、 c4 、 c5 ,把两条直线的交点记为 p 。

把 c1 、 c2 的圆心到 p 的距离分别记作 p1 、 p2 。

现在,把整个图以 p 为中心缩小到原来的 p1/p2 ,则两条直线还在原来的位置,但是 c2 现在占据了 c1 的位置。

另外,由于所有相切关系都不变,因此新的 c3 就是原来的 c2 ,新的 c4 就是原来的c3 ,新的 c5 就是原来的 c4 。

这就说明,每个 ci 缩小到原来的 p1/p2 就和 ci-1 重合,也就是说每两个相邻圆的半径之比为 p1/p2 。

8. 给定一条直线和直线外一点 p ,再给出直线上一点 o ,以及一个以 o 为圆心的圆。如何只用一个没有刻度的直尺作出已知直线过 p 点的垂线?

答案:

连接 ap ,与圆交于 q ;延长 pb ,与圆交于 r 。

则 ar 、 qb 的延长线的交点 x 就满足 px⊥l 。

这是因为在 △apx 中, qx 和 pr 都是三角形的高,说明点 b 是三角形的垂心,自然就有 px⊥l 了。

9. 证明:把一个正 400 边形剖分为平行四边形,则其中至少有 100 个矩形。

答案:

假设这个正 400 边形的底边是一条水平线段。

显然,我们可以从最上面的边出发,穿过一个个平行四边形,一路走到最下面的边,使得路上经过的线段都是水平线段;

类似地,正 400 边形的最左端到最右端也有这么一条通路,路上经过的每条边都是竖直线段。但这两条路径显然有一个交点,这个交点所在的四边形显然就是矩形。

这个操作可以在该正 400 边形的不同方向上进行 100 次,因此我们能找出 100 个朝向不同的矩形。

10. 图中所示的是一种用不相交线段覆盖四边形中每一个点(包括边界上的点)的方法,其中每条线段的长度都不为 0 。是否有可能

(1) 用长度都不为 0 的不相交线段覆盖一个三角形中的每一个点?

(2) 用长度都不为 0 的不相交线段覆盖一个圆里的每一个点?

答案:都是可以的。如图。

11. 给定任意四边形 abcd 和四边形外一点 o 。把 ab 平移到 oa’ ,把 bc 平移到 ob’ ,把 cd 平移到 oc’ ,把 da 平移到 od’ 。求两个四边形的面积之比。

答案:

倍长 bc 到 e ,于是三角形 (1) 和 (2) 面积相同。

而显然三角形 (2) 和 (3) 全等,因此 (1) 和 (3) 面积相同。

同理可知,右边这个四边形中的四个三角形事实上分别与 △abc 、 △bcd 、 △cda 、 △dab 等积,因此右边这个四边形的面积是左边的两倍。

12. 图中的四个点之间一共有 6 条线段,它们满足:有一种长度恰好出现 1 次,有一种长度恰好出现 2 次,有一种长度恰好出现 3 次。是否存在平面上的五个点,它们之间的 10 条线段满足有一种长度恰好出现 1 次,有一种长度恰好出现 2 次,有一种长度恰好出现 3 次,有一种长度恰好出现 4 次?

答案:是的。

下图是一个简单的构造:

△abc 为等边三角形, o 为其中心。以 a 为圆心, ab 为半径作弧, ob 的中垂线与这段弧相交于点 d 。则这五个点满足要求。

受很多与维度有关的几何命题的影响,或许很多人认为五个点已经是最多了吧。

其实不是。

现在已经发现了一些 n=6 、 n=7 甚至 n=8 的构造。

下图显示的就是一个 n=8 的构造,构造出这玩意儿的人简直是太牛 b 了。

13. 如图,四边形房间内有一光源,它照亮了大部分区域,只有其中两面墙有阴影部分。是否存在这样的多边形房间,把光源放在房间里的某个位置后,能够让每一面墙都有阴影部分?

答案:有。如图。

晚安!

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